Question

已知y=4 x-

1

2

-3×2^x+5，0≤x≤2
（Ⅰ）设t=2^x，x∈[0，2]，求t的最大值与最小值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值与最小值及相应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设t=2^x ，0≤x≤2，由于函数t=2^x 在R上是增函数，可得t的最大值与最小值．
（Ⅱ）由于函数 y=f（x）

1

2

（t-3）²+

1

2

，1≤t≤4．利用二次函数的性质可得f（x）的最大值与最小值及相应的x值．

解答：解：（Ⅰ）设t=2^x ，0≤x≤2，由于函数t=2^x 在R上是增函数，故当x=0时，t取得最小值为2⁰=1，当x=2时，t取得最大值为2²=4．
（Ⅱ）由于函数 y=f（x）=4 x-

1

2

-3×2^x+5=

1

2

（2^x）²-3•2^x+5=

1

2

t²-3t+5=

1

2

（t-3）²+

1

2

，1≤t≤4．
故当t=3时，函数y取得最小值为

1

2

，此时，x=log₂3．当t=1时，函数y取得最大值为

5

2

，此时，x=0．

点评：本题主要考查复合函数的单调性的应用，指数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．