Question

【题目】（1）已知函数，求函数在时的值域；

（2）函数有两个不同的极值点，，

①求实数的取值范围；

②证明：.

（本题中可以参与的不等式：，）

Answer 1

【答案】（1）（2）①②详见解析

【解析】

(1)首先可对函数进行求导，然后分析函数在上的单调性并求出最值，最后即可求出函数在上的值域；

(2)①首先将“有两个不同极值点”转化为“有两个不同的正实根”，再根据(1)中所给出的函数性质即可得出结果；

②可利用分析法进行证明。

（1），令，，

在上有，在上有，

从而有在上为单增函数，在上为单减函数，

，且当时，，故函数的值域为；

（2）①，

题意有两个不同极值点即有两个不同的正实数根，即有两个不同的正实根，

由（1）题函数的性质知：，故；

②由条件有两个不同的极值点，知：

，于是有

所以，即

要证成立，只需证明

只需证

只需证

只需证

只需证，令，

只需证，，而题中已给出该不等式成立.

即证。