Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，
AD=1，AB=，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）当PD=1时，求此四棱锥的表面积．

Answer 1

解：（1）证明：由题意可知DC=2 ，则， BC²=DB²+D^C2，
∴BD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，
∴BD⊥PD，
而PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PDC．
∵PC平面PDC，
∴BD⊥PC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PA，即是直角三角形．
∴．
过D作DH⊥BC于点H，连接PH，
则同理可证PH⊥BC．
并且PH==2，．
易得，
，
．
故此四棱锥的表面积为：
S_Rt△PAB+S_△PBC+S_Rt△PDA+S_Rt△PDC+S_梯形ABCD
==．