Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；ks5u

（Ⅲ）求证：．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，定义域是，

， ks5u

令，得_或．  …2分

当或时，，当时，，

    ∴函数、上单调递增，在上单调递减．  ……………4分

的极大值是，极小值是．

当时，；当时，，

当仅有一个零点时，的取值范围是或．………5分

  （Ⅱ）当时，，定义域为．

      令，

       ，

       在上是增函数．              …………………………7分

①当时，，即；

②当时，，即；

③当时，，即．  …………………………………9分

（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．

令，则有，   

． ……………12分

，

．                …………………………14分

 （法二）当时，．

，，即时命题成立．   ……………………10分

设当时，命题成立，即 ．

 时，．

根据（Ⅱ）的结论，当时，，

即．

令，则有，

则有，

即时命题也成立．……………13分

因此，由数学归纳法可知不等式成立．   ……………………………14分