题目内容
（2011•重庆一模）已知向量
=（
，
），
=（
，-
），曲线
•
=1上一点P到点F（5，0）的距离为11，Q为PF 的中点，O为坐标原点，则|
|等于（ ）
| a |
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
| b |
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
| a |
| b |
| OQ |
分析：根据向量数量积的坐标运算公式，可得曲线
•
=1对应的图形是双曲线
-
=1，得到F（5，0）恰好是双曲线的右焦点．然后设双曲线的左焦点为F'（-5，0），连接PF'、OQ，结合双曲线的定义和三角形的中位线定理，可以计算出O、Q两点的距离．
| a |
| b |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
解答：解：∵向量
=（
，
），
=（
，-
），
∴
•
=
•
+
•（-
）=
-
∴曲线
•
=1就是
-
=1
对应的图形是双曲线，a2=16，b2=9
∴a=4，b=3，c=
=5
可得点F（5，0）恰好是双曲线的右焦点，
设双曲线的左焦点为F'（-5，0），连接PF'、OQ
∵OQ是△PFF'的中位线，|PF-PF'|=2a=8
∴当点P在双曲线左支上时，|
|=
PF'=
（PF-8）=1.5
当点P在双曲线右支上时，|
|=
PF'=
（PF+8）=9.5
选B
| a |
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
| b |
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
∴
| a |
| b |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| y |
| 3 |
| y |
| 3 |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
∴曲线
| a |
| b |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 9 |
对应的图形是双曲线，a2=16，b2=9
∴a=4，b=3，c=
| a2+b2 |
可得点F（5，0）恰好是双曲线的右焦点，
设双曲线的左焦点为F'（-5，0），连接PF'、OQ
∵OQ是△PFF'的中位线，|PF-PF'|=2a=8
∴当点P在双曲线左支上时，|
| OQ |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当点P在双曲线右支上时，|
| OQ |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
选B
点评：本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了圆锥曲线的定义和三角形中位线定理等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目