Question

在数列{a_n}中，，其中S_n表示数列的前n项和．
（Ⅰ）分别求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n的表达式，并予以证明．

Answer 1

（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，，
所以n=2时，，
n=3时===，，
n=4时==，…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想数列{a_n}的通项公式…（5分）
以下用数学归纳法证明：①n=1时，，命题成立；
②假设n=k（k≥1）时成立，即成立…（7分）
由已知
推得：
成立…（9分）
那么，当n=k+1时，=
=
则n=k+1时，也成立．…（14分）
综上可知，对任意n∈N，成立．
分析：（Ⅰ）通过关系式，利用n=2，3，4，即可求a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）通过观察a₁，a₂，a₃，a₄的值，猜想求数列{a_n}的通项公式a_n的表达式，然后利用数学归纳法证明．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，数学归纳法的证明方法，注意证明中必须利用假设，考查计算能力，逻辑推理能力．