Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别是棱AB，CC₁，D₁A₁，BB₁的中点．
（1）证明：FH∥平面A₁EG；
（2）证明：AH⊥EG；
（3）求三棱锥A₁-EFG的体积．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的几何特征，我们易证明FH∥A₁G，结合线面平行的判定定理，即可得到FH∥平面A₁EG；
（2）根据正方体的几何特征，易得AH⊥A₁G，AH⊥A₁E，结合线面垂直的判定定理，即可得到AH⊥平面A₁EG，再由线面垂直的性质，即可得到AH⊥EG；
（3）连接HA₁，HE，HG，结合（1）的结论可得VH-A1EG=VF-A1EG，求出棱锥的底面面积和高后，代入棱锥体积公式即可得到答案．

解答：解：（1）证明：∵FH∥B₁C₁，B₁C₁∥A₁G，∴FH∥A₁G
又A₁G?平面A₁GE，FH?平面A₁GE，∴FH∥平面A₁EG
（2）∵A₁G⊥平面ABB₁A₁，AH?平面ABB₁A₁，∴AH⊥A₁G
又∵△ABH≌△A₁AE，∴∠HAB=∠EA₁A∵∠A₁AH+∠HAB=90°，∴∠A₁AH+∠EA₁A=90°，∴AH⊥A₁E
又∵A₁G∩A₁E=A₁，∴AH⊥平面A₁EG，∵EG?平面A₁EG，故AH⊥EG
（3）连接HA₁，HE，HG，由（1）得FH∥平面A₁EG，∴VH-A1EG=VF-A1EG
又S△A1EH=SABB1A1-S△A1AE-S△A1B1H-S△EBH=1×1-

1

4

-

1

4

-

1

8

=

3

8

，A1G=

1

2

∴VA1-EFG=VF-A1EG=VH-A1EG=VG-A1EH=

1

3

S△A1EH•A1G=

1

3

×

3

8

×

1

2

=

1

16

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定及性质，棱锥的体积，熟练掌握空间直线与平面平行或垂直关系的判定、性质、定义，是解答本题的关键．