Question

（2012•湖南模拟）数列{a_n}满足a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3（k≥1，k∈N），则
（1）a₃+a₄=

18

；
（2）其前n项和S_n=

3 5 (6 n 2 -1)n=2k 8×6 n-1 2 -3 5 n=2k-1

(k∈N)

．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3可得a₂=2a₁，a₃=3a₂，a₄=2a₃，可求a₃+a₄
（2）由已知可得a_2k+1=3a_2k=3（2a_2k-1）=6a_2k-1，则数列的奇数项是以1为首项，以6为公比的等比数列；由a_2k=2a_2k-1即偶数项都是前一项的2倍，从而对n分类讨论：分n=2k时，当n=2k-1两种情况，利用等比数列的求和公式分别求解

解答：解：（1）∵a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3
∴a₂=2a₁=2，a₃=3a₂=6，a₄=2a₃=12
∴a₃+a₄=18
（2）∵a₁=1，

a2k

a2k-1

=2，

a2k+1

a2k

=3
∴a_2k+1=3a_2k=3（2a_2k-1）=6a_2k-1
∴数列的奇数项是以1为首项，以6为公比的等比数列
∵a_2k=2a_2k-1即偶数项都是前一项的2倍
当n=2k时，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2×1+6+2×6+6²+2×6²+…+6(

n

2

-1)+2×6

n

2

-1
=3（1+6+…+6(

n

2

-1)）
=3×

1-6 n 2

1-6

=

3(6 n 2 -1)

5

当n=2k-1时，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=1+2×1+6+2×6+…+6

n-2

2

-2×6

n-2

2

=

8×6 n-1 2 -3

5

故答案为：18；Sn=

3(6 n 2 -1) 5 ，n=2k 8×6 n-1 2 -3 5 ，n=2k-1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解是数列的项及等比数列的求和公式 的应用，解题中体现了分类讨论的思想