Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求函数在区间上的最小值；

（3）某同学发现：总存在正实数，，使，试问：该同学的判断是否正确?若不正确，请说明理由；若正确，请直接写出的取值范围（不需要解答过程）．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为， ；（2）时，；若时，．（3）正确，的取值范围为．

【解析】

（1）先确定函数定义域，再利用导数，可求函数的单调区间；

（2）根据在上单调递增，在上单调递减，结合函数定义域分类讨论可求出函数在区间上的最小值；

（3）的取值范围为，根据在上单调递增，在上单调递减，结合函数图象即可求得．

解（1）定义域，，

令，则，

当时，，所以单调增区间为；

当时，，所以的单调增区间为；

（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以

当时，即时，在上单调递增，

所以．

当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，由于，

若时，；

若时，．

当时，即时，在上单调递减，

所以，

综上得：若时，；

若时，；

（3）正确，的取值范围为．

注：理由如下，考虑几何意义，当时，，

由于在上单调递增，在上单调递减，

所以的图象大致如下图所示，

所以总存在正实数，且，使得，即，即．