Question

如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|=t（t＞0），连AC交BE于D点．
（1）用t表示向量

OC

和

OD

的坐标；
（2）当

OC

=

3

2

OB

时，求向量

OD

和

EC

的夹角的大小．

Answer 1

分析：（1）向量

OC

可以直接由

OB

来表示，求

OD

，可以先求

AC

转化为

AD

，∵OA∥BE；
（2）求向量

OD

和

EC

的夹角的大小，只需求其数量积，坐标运算和公式形式运算，可以求出夹角．

解答：解：（1）

OC

=（

1

2

（t+1），-

3

2

（t+1）），
∵

BC

=t

AE

，
∴

DC

=t

AD

，

AD

=

1

1+t

AC

，又

OA

=（

1

2

，

3

2

），

AC

=

OC

-

OA

=（

1

2

t，-

3

2

（t+2））；
∴

AD

=（

t

2(t+1)

，-

3 (t+2)

2(t+1)

），
∴

OD

=

OA

+

AD

=（

2t+1

2(t+1)

，-

3

2(t+1)

）．

（2）由已知t=

1

2

，∴

OD

=（

2

3

，-

3

3

），

EC

=（-

1

4

，-

3 3

4

）
∴

OD

•

EC

=-

1

6

+

3

4

=

7

12

又∵|

OD

|=

7

3

，|

EC

|=

2 7

4

=

7

2

∴cos＜

OD

，

EC

＞=

7 12

7 6

=

1

2

，
∴向量

OD

与

EC

的夹角为60°．

点评：本题考查向量的数量积，坐标运算和向量数量积的两种计算，是中档题．