Question

如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|=t（t＞0），连AC交BE于D点，则向量

OD

和

EC

的夹角的大小为

60°

．

Answer 1

分析：先建立坐标系，利用向量的运算法则求出向量

OD

和

EC

的坐标，求向量

OD

和

EC

的夹角的大小，只需求其数量积，坐标运算和公式形式运算，可以求出夹角．

解答：解：以OE为x轴，以AB为y轴建立直角坐标系，则有
A（0，

3

，2

），B（0，-

3

，2

），O（-

1

2

，0），E（

1

2

，0）

EC

=

EO

+

OC

=

EO

+(t+1)

OB

=(

t-1

2

，-

3 t+ 3

2

)

OD

=

OB

+

t

t+1

OA

=(

2t+1

2t+2

，-

3

2t+2

)，
所以

OD

•

EC

=

t2+t+1

2t+2

，
又因为|

CE

|=

t2+t+1

，|

OD

|=

t2+t+1

t+1

，
所以cos＜

EC

，

OD

＞=

OD • EC

| CE | | OD |

=

1

2

，
所以夹角为60°，
故答案为60°

点评：本题考查向量的数量积，坐标运算和向量数量积的两种计算，是中档题．