Question

已知函数，点、在函数的图象上，
点在函数的图象上，设．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和为；
（3）已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．

Answer 1

（1）；
（2）；
（3）当时,；
当时，;
当时，.

试题分析：（1）把点点、代入中，点代入函数中，可得，然后利用叠加的方法求的；（2）由和可得，然后利用裂项法求数列的前项和即可；（3）由得，由可得 ，即，求出
，即，所以最后分类讨论比较与的大小即可.
试题解析：（1）由题有： 
3分
（2），

                                                 8分
（3），，
由知
， 而，所以可得．
于是
．
当时 ；
当时，
当时，
下面证明：当时，
证法一：（利用组合恒等式放缩）
当时，
 
∴当时，   13分
证法二：（数学归纳法）证明略
证法三：（函数法）∵时，
构造函数，
∴当时，
∴在区间是减函数，
∴当时，
∴在区间是减函数，
∴当时，
从而时，，即∴当时，