Question

定义,,.
（1）比较与的大小；
（2）若，证明：；
（3）设的图象为曲线，曲线在处的切线斜率为，若，且存在实数，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）实数的取值范围为.

试题分析：（1）根据定义求出和，进而比较出和的大小；（2）先利用定义求出和的表达式，，利用分析法将所要证明的不等式等价转化为，构造新函数，问题等价转化利用导数证明函数在区间上单调递减；（3）先利用定义求出函数的解析式，并求出相应的导数，从而得到的表达式，结合对数运算将问题等价转化为不等式在有解，结合导数对函数的极值点是否在区间进行分类讨论，确定函数在区间的最值，利用最值进行分析，从而求出参数的取值范围.
试题解析：（1）由定义知
∴,∴.
（2）
要证，只要证
∵
令，则，
当时，，∴在上单调递减.
∵ ∴，即
∴不等式成立.
（3）由题意知：，且
于是有 在上有解.
又由定义知 即
∵ ∴，∴,即
∴在有解.
设
①当即时，≥. 当且仅当时，
∴ 当时，  ∴
②当≤时，即≤时，在上递减，
∴. ∴
整理得：，无解
综上所述，实数的取值范围为.