Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=3，且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若成等比数列，求数列的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+3，a_n=2S_n-1+3（n≥2）两式作差即可求得a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得a_n=3ⁿ，成等比数列可求得b_n，用裂项法可求得数列的前n项和T_n．
解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+3，a_n=2S_n-1+3（n≥2）
得：a_n+1-a_n=2a_n∴a_n+1=3a_n（n≥2）
∴（2分）
，（3分）
∴
∴a_n=3ⁿ（4分）
（Ⅱ）由b₁+b₂+b₃=15，得b₂=5（5分）
则b₁=5-d，b₃=5+d，

则有：64=（6-d）（14+d）即：d²+8d-20=0（6分）
d=2或d=-10∵d＞0∴d=2（7分）
∴b_n=b₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1（8分）
∴
=（10分）
点评：本题考差数列求和，重点考查学生的转化思想，方程思想及裂项法求和，难点在于裂项法求和的理解与应用，属于中档题．