Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列{lg

1

an

}的前n项和最大？

Answer 1

解（I）当n=1时，λ a12 =2s1=2a1
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，则s_n=0，a_n=s_n-s_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，则a1=

2

λ

，当n≥2时，2a_n=

2

λ

+sn，2an-1=

2

λ

+sn-1
两式相减可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，从而可得数列{a_n}是等比数列
∴a_n=a₁•2^n-1=

2

λ

•2n-1=

2n

λ

综上可得，当a₁=0时，a_n=0，当a₁≠0时，an=

2n

λ

（II）当a₁＞0且λ=100时，令bn=lg

1

an

由（I）可知bn=lg

100

2n

=2-nlg2
∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=lg

100

26

=lg

100

64

＞0
当n≥7时，bn≤b7=lg

100

27

=lg

100

128

＜0
∴数列{lg

1

an

}的前6项和最大