Question

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：分别交于M，N两点。

（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得，椭圆C的左顶点为上顶点为
∴
故椭圆C的方程为。
（2）直线AS的斜率k显然存在，且，故可设直线AS的方程为，
从而
由得0
设则（-2）×得，
从而
即
又
由得
∴
故
又
∴
当且仅当，即时等号成立
∴时，线段MN的长度取最小值。
（3）由（2）可知，当MN取最小值时，
此时的方程为，S
∴
要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于，只须T到直线BS的距离等于，
所以T在平行于且与距离等于的直线l′上。
设直线l′：
则由解得或
当由得
由于
故直线与椭圆C有两个不同的交点
当由得
由于，故直线l′与椭圆C没有交点
综上所述，当线段MN的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T，使得的面积等于。