Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=的取值范围；
（3）是否存在正整数M，使得n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的递推公式，进而求解．
（2）将（1）中的结论代入b_n=，求出bn，进而求出b_nb_n+1，利用列项法求出T_n，即可求出T_n的范围；
（3）不等式化简可得，讨论p与1的大小，分别求出满足条件的M，从而得到所求．
解答：解：（1）由题设知（p-1）a₁=p²-a₁，解得a₁=p．…（1分）
同时两式作差得（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1．
所以（p-1）a_n+1=a_n-a_n+1，即a_n+1=，
可见，数列的等比数列．…（4分）
．…（5分）
（2）b_n=．…（7分）
b_nb_b+1=．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1==1-…（9分）
所以，…（10分）
（3），
由题意，要求．…（12分）
①当p＞1时，-5n-152＜0．
解得-＜n＜8．不符合题意，此时不存在符合题意的M．   …（14分）
②当0＜p＜1时，-5n-152＞0．
解得n＞8，或n＜-（舍去）．此时存在的符合题意的M=8．
综上所述，当0＜p＜1时，存在M=8符合题意；
当p＞1时，不存在正整数M，使得命题成立．      …（16分）
点评：本题主要考查数列知识的综合运用，以及证明不等式的能力，同时考查了裂项求和法，属于中档题．