Question

如图，AB、CD是圆O的两条平行弦，AF∥BD交CD于点E，交圆为O于点F，过B点的切线交CD的延长线于点P，若，则BD的长为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据切割线定理PB²=PD×PC，算出CD=4，得PC=5，ED=CD-CE=3．由△BPD∽△CPB得，设BD=x得CB=x．设AF、BC的交点为G，利用平等线分线段成比例结合平行四边形的性质，算出GE=x、CG=x、BG=x且AG=x．然后利用相交弦定理AG•GF=CG•BG，算出GF=x，从而EF=GF-GE=x．最后根据AE•EF=CE•ED，即可算出BD的长．
解答：解：∵直线PB切圆O于点B，PDC是圆O的割线
∴PB²=PD×PC，得（）²=1×（1+CD），
解得CD=4，得PC=5，ED=CD-CE=3
∵∠PBD=∠PCB，∠BPD=∠CPB
∴△BPD∽△CPB，可得
设BD=x，则CB=x，设AF、BC的交点为G
∵AE∥BD，得，
∴GE=BD=x；CG=CB=x，BG=x，
平等四边形ABDE中，AE=BD=x，得AG=AE-GE=x
由相交弦定理，得AG•GF=CG•BG，即x•GF=x•x
解得GF=x，可得EF=GF-GE=x-x=x
又∵AE•EF=CE•ED，AE=EF=x，CE=1且ED=3
∴x²=1×3=3，解之得x=，即BD的长为
故答案为：
点评：本题给出圆内的平行线和圆的切线，在已知切线PB长的情况下求线段BD的长．着重考查了圆当中的比例线段、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．