Question

已知圆方程为：.

（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；

（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

Answer 1

（1）所求直线方程为 （2）轨迹是中心在原点，焦点在轴，长轴为、短轴为的椭圆，除去短轴端点

解析:

（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意   …………………………………1分

②若直线不垂直于轴，设其方程为，即 

设圆心到此直线的距离为，则，得  …………………3分

∴，解得，………………5分

故所求直线方程为    …………6分

综上所述，所求直线方程为或    ……………………………7分

（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标

是……9分

∵，∴  即，             

 …………………11分

又∵，∴

∴点的轨迹方程是， ………………13分

轨迹是中心在原点，焦点在轴，长轴为、短轴为的椭圆，除去短轴端点。…14分