Question

【题目】设函数（为自然对数的底数，）.

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围；

（3）若函数有且仅有个不同的零点，且，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据，对函数求导，求出，，进而可得切线方程；

（2）先对函数求导，得到，分别讨论函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递减，两种情况，即可求出参数范围；

（3）先由题意，得到有且仅有两个不等于的不同零点，设，对函数求导，得出的单调性，推出有且仅有两个不等实数根，且一个根小于，一个根大于，再由题意，得到，为的两个不等实数根，推出，设，，，对其求导，研究其单调性，进而可得出结果.

解：（1）当时，，，，，

故的图象在处的切线方程为，即.

（2）因为，

①若函数在区间上单调递增，则恒成立，得恒成立，

∵，∴，所以；

②若函数在区间上单调递减，则恒成立，得恒成立，

∵，∴，所以；

综上，的取值范围为.

（3）函数的零点即为方程的实数根，

故或，由，得，

∴有且仅有两个不等于的不同零点，

由，得，设，

则，由，得；由，得.

故在上单调递增，在上单调递减，

故有且仅有两个不等实数根，且一个根小于，一个根大于，

∵有且仅有个不同的零点，，

∴，为的两个不等实数根，

∴，，两式相减，得，∴，

两式相加，得，

设，由且，得，，

设，，

则，设，，则，

设，，则在上恒成立，

∴在上单调递增，∴在上恒成立，

则在上恒成立，∴在上单调递增，

∴在上恒成立，则在上恒成立，∴在上单调递增，

所以,,，即.