Question

（2010•湖北模拟）已知函数f(x)=Asin(2ωx+?)(ω＞0)在x=

x

12

时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（1）求f（x）；
（2）若f(a)=

2

3

，求sin(

7π

6

-2a)的值．

Answer 1

分析：（1）根据x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，得到f（x）的周期为π，A=2，由

2π

2ω

=π知ω=1，根据最大值代入解析式，求出初相，得到结果．
（2）根据所给的关系式，代入解析式，根据诱导公式整理变化成要求的结果，注意诱导公式的应用．

解答：解：（1）由题意知：f（x）的周期为π，A=2
由

2π

2ω

=π知ω=1∴f（x）=2sin（2x+?）…（3分）
∵f(

π

12

)=2∴sin(

π

6

+?)=1
从而

π

6

+?=

π

2

+2kπ，k∈z
即?=

π

3

+2kπ(k∈z)∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)…（6分）
（2）由f(α)=

2

3

知2sin(2α+

π

3

)=

2

3

即sin(2α+

π

3

)=

1

3

…（7分）
∴cos(

7π

6

-2a)=cos[

3π

2

-(2α+

π

3

)]…（9分）
=-sin(2α+

π

3

)…（11分）
=-

1

3

…（12分）

点评：本题考查根据函数的图象确定函数的解析式，和给值求值，本题解题的关键是看出要求的角和已知角之间的关系．