Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=

1

2

x+b与C交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）当直线l过抛物线C的焦点F时，求|AB|；
（2）是否存在直线l使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求直线的方程，再与抛物线联立组成方程组．利用抛物线的定义，可求弦AB的长；
（2）假设存在直线l：y=

1

2

x+b使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k₁，k₂，则α+β=135°，从而tan(α+β)=

k1+k2

1-k1k2

=-1，其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

y2

x2

=

4

y2

，由此即可求得结论．

解答：解：（1）抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），代入直线l：y=

1

2

x+b可得b=-

1

2

，∴直线l：y=

1

2

x-

1

2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则联立方程可得

y2=4x y= 1 2 x- 1 2

，消去y得x²-18x+1=0，
∴x₁+x₂=18，
∴|AB|=x₁+x₂+p=18+2=20；
（2）假设存在直线l：y=

1

2

x+b使得直线OA、OB倾斜角之和为135°，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则联立方程可得

y2=4x y= 1 2 x+b

消去x得y²-8y+8b=0，
∴y₁+y₂=8，y₁y₂=8b
设直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，斜率分别为k₁，k₂，则α+β=135°
∴tan(α+β)=

k1+k2

1-k1k2

=-1，其中k1=

y1

x1

=

4

y1

，k2=

y2

x2

=

4

y2

∴y₁y₂-16+4（y₁+y₂）=0，
∴8b-16+32=0，解得b=-2
代入△=64-32b=128＞0，满足题意
综上，存在直线l：y=

1

2

x-2使得直线OA、OB倾斜角之和为135°．

点评：本题考查抛物线的弦长，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求解．