题目内容

在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， $数学公式$ ， $数学公式$ ，且 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin²B+cos（ $数学公式$ -2B）的值域．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 得，（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理得 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，即2sinBcosA-sinB=0，可得2sinBcosA=sinB
∵B∈（0，π），sinB为正数
∴2cosA=1，得cosA= $\text{[math]}$ ，结合A∈（0，π），得A= $\text{[math]}$ …（5分）
（Ⅱ）y=2sin²B+cos（ $\text{[math]}$ -2B）=1-cos2B+ $\text{[math]}$ cos2B+ $\text{[math]}$ sin2B=1- $\text{[math]}$ cos2B+ $\text{[math]}$ sin2B=sin（2B- $\text{[math]}$ ）+1…（7分）
①当角B为钝角时，可得B∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），2B- $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
∴sin（2B- $\text{[math]}$ ）∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），得y∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（10分）
②当角B为锐角时，角C为钝角，即C= $\text{[math]}$ -B∈（ $\text{[math]}$ ，π），所以B∈（0， $\text{[math]}$ ）
∴2B- $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），sin（2B- $\text{[math]}$ ）∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），得y∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（13分）
综上所以，函数y=2sin2B+cos（ $\text{[math]}$ -2B）的值域为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）…（14分）
分析：（I）根据向量平行的坐标表示式列出等式，再由正弦定理和诱导公式化简整理，可得2sinBcosA=sinB，结合三角形内角的正弦为正数，得到cosA= $\text{[math]}$ ，从而得到A= $\text{[math]}$ ．
（II）对函数进行降次，再用辅助角公式合并整理，可得y=sin（2B- $\text{[math]}$ ）+1，然后依据B为钝角或C为钝角讨论B的范围，分别得到函数的值域，最后综合可得本题的答案．
点评：本题以平面向量平行为载体，求三角形的内角A并求关于角B的三角函数式的值域，着重考查了平面向量数量积的运算、三角函数中的恒等变换应用和解三角形等知识，属于中档题．