Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

（θ为参数），直线l经过定点P（2，3），倾斜角为

π

3

．
（1）写出直线l的参数方程和圆的标准方程；
（2）设直线l与圆相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析：（1）利用平方关系即可得到圆锥曲线C的普通方程，利用直线的参数方程即可得出．
（2）把直线的参数方程代入曲线C的方程和利用参数的几何意义即可得出．

解答：解：（1）由圆锥曲线C的参数方程为

x=4cosθ y=4sinθ

（θ为参数），消去参数θ化为x²+y²=16．
由直线l经过定点P（2，3），倾斜角为

π

3

．
可得

x=2+ 1 2 t y=3+ 3 2 t

(t为参数)②
（2）把②代人①得，t2+(2+3

3

)t-3=0③
设t₁，t₂是方程③的两个实根，则t₁t₂=-3
∴|PA|•|PB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=3

点评：熟练掌握三角函数的平方关系、直线参数方程的参数的几何意义是解题的关键．