Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）利用圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D²+E²-4F＞0即可得出；
（2）利用r=

1

2

D2+E2-4F

即二次函数的性质即可求出．

解答：解：（1）∵已知方程表示一个圆，所以D²+E²-4F＞0，即4（t+3）²+4（1-4t²）-4（16t⁴+9）＞0，整理得7t²-6t-1＜0，解得-

1

7

＜t＜1．
（2）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

≤

4 7

7

，当t=

3

7

时，r_max=

4 7

7

．圆的标准方程为(x-

24

7

)2+(y+

13

49

)2=

16

7

点评：熟练掌握圆的一般方程表示圆的充要条件和二次函数的性质是解题的关键．