Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0表示一个圆．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围；
（3）求圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用方程表示圆的条件D²+E²-4F＞0，建立不等式，即可求出实数m的取值范围；
（2）利用圆的半径r=

1

2

4(-7m2+6m+1)

，利用配方法结合（1）中实数m的取值范围，即可求出该圆半径r的取值范围；
（3）根据x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0，确定圆的圆心坐标，再消去参数，根据（1）中实数m的取值范围，可求得圆心的轨迹方程．

解答：解：（1）∵方程表示圆，
∴D²+E²-4F=4（m+3）²+4（1-4m²）²-4（16m⁴+9）=4（-7m²+6m+1）＞0，
∴-7m²+6m+1＞0
∴-

1

7

＜m＜1．（5分）
（2）r=

1

2

4(-7m2+6m+1)

=

-7(m- 3 7 )2+ 16 7

∵-

1

7

＜m＜1
∴0＜r≤

4 7

7

．（5分）
（3）设圆心坐标为（x，y），则

x=m+3① y=4m2-1②

，
由①得m=x-3，代入②消去m得，y=4（x-3）²-1．
∵-

1

7

＜m＜1，∴

20

7

＜x＜4，即轨迹为抛物线的一段，
∴圆心的轨迹方程为y=4（x-3）²-1（

20

7

＜x＜4）．（5分）

点评：本题考查圆的一般方程与圆的标准方程，考查解不等式，配方法求函数的最值，考查轨迹问题，解题时确定圆的圆心与半径是关键．