Question

已知(x2-

1

x

)n的展开式中第3项与第5项的系数之比为

3

14

．
（1）求n的值； 
（2）求展开式中的常数项； 
（3）求二项式系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中第3项与第5项的系数列出方程求出n的值．
（2）将求出n的值代入通项，令x的指数为0求出r的值，将r的值代入通项求出展开式的常数项．
（3）利用展开式中间项的二项式系数最大，求出二项式系数最大的项．

解答：解：（1）(x2-

1

x

)n展开式的通项为Tr+1=(-1)r

C

r n

x2n-

5r

2

∴展开式中第3项与第5项的系数分别为C_n²，C_n⁴
据题意得

C 2 n

C 4 n

=

3

14

解得n=10；
（2）∴展开式的通项为Tr+1=(-1)r

C

r 10

x20-

5r

2

令20-

5r

2

=0得r=8
∴展开式中的常数项为C₁₀⁸=45
（3）∵n=10
∴展开式共有11项
中间项为第6项
二项式系数最大的项为T₆=-252x

15

2

点评：解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式．