Question

已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx （k＞0）有且仅有五个公共点，公共点的横坐标的最大值为α，
证明：

cos4α-sin4α

sin2α+cos2α-1

=

1+α

2α

．

Answer 1

分析：f（x）的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个公共点时，如图所示，且在（π，

3

2

π）内相切，其切点为
A（α，-sinα），利用导数的几何意义得出：-cosα=

-sinα

α

，可得α=tanα，再化简欲证等式的左边，即可得出结论．

解答：证明：函数f（x）=sinx的图象关于原点对称，直线y=kx过原点，
所以f（x）=sinx的图象与直线y=kx（k＞0）在[0，+∞）上有三个公共点如图所示，
且在（π，

3π

2

）内相切，其切点为A（α，-sinα），
α∈（π，

3π

2

）．  …（5分）
由于f′（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

），所以，-cosα=-

sinα

α

，即 α=tanα．  …（8分）
因此，

cos4α-sin4α

sin2α+cos2α-1

=

cos2α-sin 2

2sinαcosα-2sin2α

=

1-tan2α

2tanα-2tan2α

=

1-a2

2a-2a2

=

1+a

2a

=右边，
故等式成立． …（13分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．