Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a＞0）在x=1处有极值10．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[0，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值．
（2）令导函数大于0求出f（x）的单调递增区间；令导函数小于0求出f（x）的单调递减区间．
（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的单调性，求出f（x）在[0，4]上的最值．

解答：解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a²=10，
得a=4，或a=-3
∵a＞0，∴a=4，
b=-11（经检验符合）
（2）f（x）=x³+4x²-11x+16，f'（x）=3x²+8x-11，
由f′（x）=0得x1=-

11

3

，x2=1
所以令f′（x）＞0得x＜-

11

3

或x＞ 1；令f′(x)＜0得-

11

3

＜x＜1
所以f（x）在(-∞，-

11

3

)，(1，+∞)上单调递增，(-

11

3

，1)上单调递减．
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，
又因为f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值为100，最小值为1020．

点评：本题考查导数在极值点处的值为0；导函数大于0对应函数的得到递增区间，导函数小于0对应函数的递减区间．