Question

若f（x）是奇函数，在x＞0时f（x）=sin2x+cosx，则x＜0时f（x）的解析式是

f（x）=sin2x-cosx

，f′（-

π

6

）=

1

2

．

Answer 1

分析：设x＜0，则-x＞0，结合题意可得则f（-x）=cosx-sin2x，又因为f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x），即可得x＜0时f（x）的解析式，进而计算出f（x）的导数，将x=-

π

6

代入可得f′（-

π

6

），可得答案．

解答：解：设x＜0，则-x＞0，
又因为x＞0时，f（x）=sin2x+cosx
则f（-x）=cosx-sin2x
又因为f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x）=sin2x-cosx，
即x＜0时f（x）的解析式是sin2x-cosx，
则x＜0时，f′（x）=2cos2x+sinx；
f′（-

π

6

）=2cos（-

π

3

）+sin（-

π

6

）=1-

1

2

=

1

2

；
故答案为f（x）=2cos2x+sinx；

1

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性的应用以及导数的计算，解题的关键在于理解函数奇偶性的定义并灵活运用．