Question

关于函数f(x)=(x≠0,x∈R)，有下列命题：①函数y=f(x)的图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)是减函数；③函数f（x）的最小值是lg2；④当-1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数.

其中正确命题的序号是_____________.（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

解析：易知f(x)是偶函数，

∴y=f(x)的图象关于y轴对称，故命题①正确.

∵=|x|+≥2,等号当且仅当x=±1时成立，

∴f(x)的最小值为lg2.故命题③正确.

∵f(x)是偶函数，故只需研究f(x)在?(0,+∞)上的单调性,x∈(0,+∞)时，f(x)=lg()=lg(x+)，

∵x+在x∈(0,1］上是减函数，在x∈［1,+∞)上是增函数,

∴f(x)在（0,1］上是减函数，在［1，+∞）上是增函数.

∵偶函数在其对称区间单调性相反，

故f(x)在［-1,0］上为增函数.

于是得命题④正确，命题②不正确.对于命题②也可以用特殊值加以否定：如取x=，2，易知有f()=f(2),故f(x)在（0，+∞）上不是增函数.

答案:①③④.