Question

已知x＞0,y＞0,+=1,求x+y的最小值.

Answer 1

解法一:∵x＞0,y＞0,+=1,

∴x+y=(x+y)(+)

=+10≥2×3+10=16.

当且仅当=时取等号,

又+=1,

即x=4,y=12上式等号成立.

故x=4,y=12,(x+y)_min=16.

解法二（消去法）：从+=1，

解出y=，代入x+y,

得x+y=x+

=x+

=x++9

=(x-1)++10.

∵y=＞0,

又x＞1,

∴x-1＞0,

∴(x-1)+≥6.

当且仅当x-1=,

即x=4时取等号.

∴x=4,y=12时，

（x+y）_min=16.