Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，|PF2|=

5

3

，求椭圆C₁的方程．

Answer 1

分析：根据抛物线的方程，求出焦点坐标，然后求出椭圆的坐标，通过定义建立方程，化简即可得到椭圆C₁的方程．

解答：解：∵抛物线C2：y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴点F₂的坐标为（1，0）．
∴椭圆C₁的左焦点F₁的坐标为F₁（-1，0），抛物线C₂的准线方程为x=-1．
设点P的坐标为（x₁，y₁），由抛物线的定义可知|PF₂|=x₁+1，
∵|PF2|=

5

3

，∴x1+1=

5

3

，解得x1=

2

3

．
由y12=4x1=

8

3

，且y₁＞0，得y1=

2

3

6

．
∴点P的坐标为(

2

3

，

2

3

6

)．
在椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，c=1．
∴2a=|PF1|+|PF2|=

( 2 3 +1)2+( 2 3 6 -0)2

+

( 2 3 -1)2+( 2 3 6 -0)2

=4．
∴a=2，b=

a2-c2

=

3

．
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查椭圆的定义，考查待定系数法的运用，属于中档题．