Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B，则实数k的取值范围为（　　）

• A．-2＜k＜-

  2

• B．-2＜k＜2
• C．k²＜4且k²≠2
• D．-2＜k＜0且k≠-

  2

Answer 1

分析：将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，由题意知

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

，由此能求出实数k的取值范围．

解答：解：将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，
整理得（k²-2）x²+2kx+2=0．
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
设两个交点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵（x₁，y₁），（x₂，y₂）都在双曲线C的右支，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴x1+x2=-

2k

k2-2

＞0，
x1x2=

2

k2-2

＞0，
故

k2-2≠0 △=(2k)2-8(k2-2)＞0 - 2k k2-2 ＞0 2 k2-2 ＞0.

解得k的取值范围是-2＜k＜-

2

．
故选A．

点评：本题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，是基础题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．