题目内容
直线l：y=kx+1与双曲线c：3x2-y2=1相交于A、B两点．
（1）若以AB为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（2）若A、B两点在双曲线的右支上，求直线l的倾斜角的范围．
（1）若以AB为直径的圆过原点，求直线l的方程；
（2）若A、B两点在双曲线的右支上，求直线l的倾斜角的范围．
分析：（1）直线l：y=kx+1代入双曲线c：3x2-y2=1，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，利用以AB为直径的圆过原点，可得x1x2+y1y2=0，根据韦达定理，即可求出直线l的方程；
（2）A、B两点在双曲线的右支上，则x1x2=-
＜0且3-k2≠0，求出k的范围，即可求直线l的倾斜角的范围．
（2）A、B两点在双曲线的右支上，则x1x2=-
| 2 |
| 3-k2 |
解答：解：（1）直线l：y=kx+1代入双曲线c：3x2-y2=1，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=-
，
∵以AB为直径的圆过原点，
∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
∴（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴-（1+k2）•
+k•
+1=0，
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±x+1；
（2）∵A．B在双曲线的左右两支上，
∴x1x2=-
＜0且3-k2≠0，
解得-
＜k＜
，
∴直线l的倾斜角的范围为[0，
）∪（
，π）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 2k |
| 3-k2 |
| 2 |
| 3-k2 |
∵以AB为直径的圆过原点，
∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
∴（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴-（1+k2）•
| 2 |
| 3-k2 |
| 2k |
| 3-k2 |
∴k=±1，
∴直线l的方程为y=±x+1；
（2）∵A．B在双曲线的左右两支上，
∴x1x2=-
| 2 |
| 3-k2 |
解得-
| 3 |
| 3 |
∴直线l的倾斜角的范围为[0，
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．
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