Question

已知定点F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，动点P满足条件：|

PF2

|-|

PF1

|=2，点P的轨迹是曲线E，直线l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．如果|AB|=6

3

．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若曲线E上存在点C，使

OA

+

OB

=m

OC

，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，点P的轨迹是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点，c=

2

，a=1的双曲线的左支，从而写出曲线E的方程，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．
（Ⅱ）先设C（x₀，y₀），由已知条件中向量关系得到点C的坐标用m来表示的式子，将点C（x₀，y₀）的坐标代入双曲线方程求得m的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵|

PF2

|-|

PF1

|=2＜F1F2=2

2

∴点P的轨迹是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)为焦点，c=

2

，a=1的双曲线的左支，
∴曲线E的方程为x²-y²=1（x＜-1）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入x²-y²=1消去y得（1-k²）x²+2kx-2=0
∴△=4k2+8(1-k2)=8-4k2＞0，x1+x2=

2k

k2-1

＜0，x1•x2=

2

k2-1

＞0
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 2k k2-1 )2-4• 2 k2-1

=6

3

两边平方整理得28k⁴-55k²+25=0，
∴k2=

5

7

，k2=

5

4

（∵-

2

＜k＜-1）
∴k=-

5

2

故直线方程为

5

2

x+y+1=0．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（mx₀，my₀）
∴(x0，y0)=(

x1+x2

m

，

y1+y2

m

)，(m＞0)
∴x1+x2=

2k

k2-1

=-4

5

，y1+y2=k(x1+x2)-2=8
∴(x0，y0)=(

-4 5

m

，

8

m

)
将点C（x₀，y₀）的坐标代入x²-y²=1得

80

m2

-

64

m2

=1．
∴m=4或m=-4（舍去）．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、双曲线定义的应用等基础知识，考查运算求解能力． 当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）．