Question

已知函数f（x）=log₂x，设是首项和公差都等于1的等差数列．数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}不是等比数列；
（2）令，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证：S_n＜3．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意求出，从而求得，假设数列{b_n}是等比数列，则有 ．经过计算可得
，与假设矛盾，所以假设不成立，从而证得要证的结论成立．
（2）由条件求得，用错位相减法求出它的值．
解答：解：（1）由题意可得 f（a_n）=n=log₂a_n，∴，故数列{a_n}是等比数列．
假设数列{b_n}是等比数列，，则有 ．
由因为 ，∴，与假设矛盾，所以假设不成立．
∴数列{b_n}不是等比数列．（6分）
（2）∵，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴，…①
∴，…②，
①-②得  
=
=，
∴＜3．（12分）
点评：本题主要考查等比关系的确定，用错位相减法进行数列求和，用反证法证明数学命题，属于中档题．