Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求

1

y1

+

1

y2

的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）设直线l方程为y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

1

y1

+

1

y2

≥2

1 y1 • 1 y2

=2

1 x 21 4 • 1 x 22 4

=2

16 (-4)2

=2
所以

1

y1

+

1

y2

的取值范围是[2，+∞）．（7分）
（Ⅱ）当l平行于x轴时，要使∠AQF=∠BQF，则Q必在y轴上．
设点Q（0，b），由题意得

kAQ+kBQ=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

，
∵x12=4y1，x22=4y2，∴b=-1
∴Q（0，-1）
∵以上每步可逆，
∴存在定点Q（0，-1），使得∠AQF=∠BQF（15分）