题目内容

已知抛物线C:x2=ay(a>0),斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,且抛物线上一点M(2
2
 , m) (m>1)
到点F的距离是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)过A,B两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为点Q,求证:
AB
 • 
FQ
=0
分析:(Ⅰ)利用点M(2
2
 ,m)
在抛物线C:x2=ay(a>0)上,点M( 2
2
,m)
到抛物线的焦点F的距离是3,根据定义,建立方程,从而可求a的值;
(Ⅱ)设直线l的方程与抛物线方程联立,利用
AF
=3
FB
,建立方程,结合k>0,可求k的值;
(Ⅲ)设直线l的方程与抛物线方程联立,确定
AB
的坐标,确定切线QA、QB的方程,求出点Q的坐标,从而可得
FQ
的坐标,利用数量积公式可得结论.
解答:(Ⅰ)解:因为点M(2
2
 ,m)
在抛物线C:x2=ay(a>0)上,所以am=8.
因为点M( 2
2
,m)
到抛物线的焦点F的距离是3,所以点M( 2
2
,m)
到抛物线的准线y=-
a
4
的距离是3,
所以m+
a
4
=3

所以
8
a
+
a
4
=3

所以a=4,或a=8.…..(3分)
因为m>1,所以a=4…(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知x2=4y.
因为直线l经过点T(0,1),
AF
=3
FB
,所以直线l的斜率一定存在,
设直线l的斜率是k,所以直线l的方程是y=kx+1,即kx-y+1=0.
联立方程组
kx-y+1=0 
x2=4y 
消去y,得x2-4kx-4=0.…..(5分)
所以x1,2=
4k±
16k2+16
2
=2k±2
k2+1

因为
AF
=3
FB
,且k>0,所以2k+2
k2+1
=3•(2
k2+1
-2k)
.…..(7分)
所以
k2+1
=2k
,所以k2=
1
3

因为k>0,所以k=
3
3

所以k的值是
3
3
.…..(8分)
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,方程组
kx-y+1=0 
x2=4y 
得x2-4kx-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=4k,x1x2=-4
AB
=(x2-x1y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1))
.…..(9分)
由x2=4y,所以y=
1
4
x2
,所以y′=
1
2
x

所以切线QA的方程是y-y1=
1
2
x1(x-x1)
,切线QB的方程是y-y2=
1
2
x2(x-x2)
.…..(11分)
所以点Q的坐标是(
x1+x2
2
x1x2
4
),即(2k,-1),所以
FQ
=(2k,-2)

因为
AB
=(x2-x1,k(x2-x1))

所以
AB
FQ
=0
.…..(14分)
点评:本题考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的切线方程,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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