题目内容
已知抛物线C:x2=ay(a>0),斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,且抛物线上一点M(2
, m) (m>1)到点F的距离是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
=3
,求k的值.
(Ⅲ)过A,B两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为点Q,求证:
•
=0.
2 |
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF |
FB |
(Ⅲ)过A,B两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为点Q,求证:
AB |
FQ |
分析:(Ⅰ)利用点M(2
,m)在抛物线C:x2=ay(a>0)上,点M( 2
,m)到抛物线的焦点F的距离是3,根据定义,建立方程,从而可求a的值;
(Ⅱ)设直线l的方程与抛物线方程联立,利用
=3
,建立方程,结合k>0,可求k的值;
(Ⅲ)设直线l的方程与抛物线方程联立,确定
的坐标,确定切线QA、QB的方程,求出点Q的坐标,从而可得
的坐标,利用数量积公式可得结论.
2 |
2 |
(Ⅱ)设直线l的方程与抛物线方程联立,利用
AF |
FB |
(Ⅲ)设直线l的方程与抛物线方程联立,确定
AB |
FQ |
解答:(Ⅰ)解:因为点M(2
,m)在抛物线C:x2=ay(a>0)上,所以am=8.
因为点M( 2
,m)到抛物线的焦点F的距离是3,所以点M( 2
,m)到抛物线的准线y=-
的距离是3,
所以m+
=3.
所以
+
=3.
所以a=4,或a=8.…..(3分)
因为m>1,所以a=4…(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知x2=4y.
因为直线l经过点T(0,1),
=3
,所以直线l的斜率一定存在,
设直线l的斜率是k,所以直线l的方程是y=kx+1,即kx-y+1=0.
联立方程组
消去y,得x2-4kx-4=0.…..(5分)
所以x1,2=
=2k±2
.
因为
=3
,且k>0,所以2k+2
=3•(2
-2k).…..(7分)
所以
=2k,所以k2=
.
因为k>0,所以k=
所以k的值是
.…..(8分)
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,方程组
得x2-4kx-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=4k,x1x2=-4
=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)).…..(9分)
由x2=4y,所以y=
x2,所以y′=
x.
所以切线QA的方程是y-y1=
x1(x-x1),切线QB的方程是y-y2=
x2(x-x2).…..(11分)
所以点Q的坐标是(
,
),即(2k,-1),所以
=(2k,-2).
因为
=(x2-x1,k(x2-x1))
所以
•
=0.…..(14分)
2 |
因为点M( 2
2 |
2 |
a |
4 |
所以m+
a |
4 |
所以
8 |
a |
a |
4 |
所以a=4,或a=8.…..(3分)
因为m>1,所以a=4…(4分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知x2=4y.
因为直线l经过点T(0,1),
AF |
FB |
设直线l的斜率是k,所以直线l的方程是y=kx+1,即kx-y+1=0.
联立方程组
|
所以x1,2=
4k±
| ||
2 |
k2+1 |
因为
AF |
FB |
k2+1 |
k2+1 |
所以
k2+1 |
1 |
3 |
因为k>0,所以k=
| ||
3 |
所以k的值是
| ||
3 |
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知,方程组
|
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=4k,x1x2=-4
AB |
由x2=4y,所以y=
1 |
4 |
1 |
2 |
所以切线QA的方程是y-y1=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以点Q的坐标是(
x1+x2 |
2 |
x1x2 |
4 |
FQ |
因为
AB |
所以
AB |
FQ |
点评:本题考查抛物线的定义,考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的切线方程,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

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