Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其焦点在圆x²+y²=1上，
（1）求椭圆的方程
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使$\overrightarrow{OM}$=cosθ$\overrightarrow{OA}$+sinθ$\overrightarrow{OB}$，求证：直线OA与OB的斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆焦点在圆x²+y²=1上可知a²-b²=1，利用e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$计算可知a²=2，进而计算可得结论；
（2）通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、M（x，y），利用$\overrightarrow{OM}$=cosθ$\overrightarrow{OA}$+sinθ$\overrightarrow{OB}$及点M在椭圆上计算可知（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+${{y}_{1}}^{2}$）cos²θ+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+${{y}_{2}}^{2}$）sin²θ+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂）cosθsinθ=1，代入$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$、$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$化简计算可知$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂=0，进而化简可得结论．

解答 （1）解：∵椭圆焦点在圆x²+y²=1上，
∴a²-b²=1，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2，
∴b²=a²-1=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1$①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}+{{y}_{2}}^{2}=1$②，
又设M（x，y），依题意，有$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{1}cosθ+{x}_{2}sinθ}\\{y={y}_{1}cosθ+{y}_{2}sinθ}\end{array}\right.$，
∵点M在椭圆上，
∴$\frac{（{x}_{1}cosθ+{y}_{1}sinθ）^{2}}{2}$+$（{y}_{1}cosθ+{y}_{2}sinθ）^{2}$=1，
整理得（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+${{y}_{1}}^{2}$）cos²θ+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}$+${{y}_{2}}^{2}$）sin²θ+2（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂）cosθsinθ=1，
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得：$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$+y₁y₂=0，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．