题目内容

已知集合MB是满足下列性质的函数f(x)的全体：对于定义域B中的任何两个自变量x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|．(1)当B＝R时，是否属于MB？为什么？(2)当B＝(0，＋∞)时，是否属于MB，若属于请给予证明；若不属于说明理由，并说明是否存在一个使属于？

答案：
解析：

　　解：(1)设，则

　　

　　(2)当B＝时，不属于

　　取，此时

　　故不属于

　　但存在一个集合，使属于

　　设，则

　　若，则只需，故可取，

　　此时属于


练习册系列答案
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已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=ax∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．现有两个函数：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log2x，则函数f（x）、g（x）与集合M的关系为
f（x）∉M，g（x）∈M
f（x）∉M，g（x）∈M
．
已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．
（1）判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；
（2）证明函数f（x）=log2x属于集合M，并找出一个常数k；
（3）已知函数f（x）=logax（ a＞1）与y=x的图象有公共点，证明f（x）=logax∈M．
已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体；
①当x∈[0，+∞）时，函数值为非负实数；
②对于任意的s、t∈x[0，+∞），λ＞0，都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)
在三个函数f1（x）=x-1，f2(x)=2x-1，f3(x)=ln
x+1
中，属于集合M的是
f3（x）
f3（x）
（写出您认为正确的所有函数．）

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