Question

如图1-1已知△ABC中,AD是∠BAC的平分线,

求证:=.

图1-1

Answer 1

思路分析:比例线段常由平行线而产生,在没有平行时,可通过添加平行线而促成比例线段的产生.

证法一:过C作CE∥AD交BA的延长线于E.

∵AD∥CE,∴=.

又∵∠1=∠3,∠2=∠4,AD平分∠BAC,

∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.∴AC=AE.

∴=.

证法二:过D作DE∥AC交AB于E,则∠2=∠3.

图1-2

又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.

∴EA=ED.又=,

==.

∴=.

证法三:过D作DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.

易证四边形AEDF是菱形.

图1-3

∴DE=DF.

由于△BDE∽△DFC,

∴==.

又=,

∴=.

图1-4

证法四:设△ABC中BC边上的高为h,

则S_△ABD=BD·h,S_△ACD=CD·h.

过D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,

则S_△ABD=AB·DE,

S_△ACD=AC·DF.

于是=.

又∵∠1=∠2,

∴DE=DF.

∴=.