Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）整体思维，求出2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2

3

π]，利用正弦函数的性质，即可求函数f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的值域．

解答：解：（I）f(x)=2cos2x+2

3

sinx•cosx=1+cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（4分）
所以，周期T=π．                                …（6分）
（II）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2

3

π]．…（8分）
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，

1]，
∴f（x）的值域为[0，3]…（12分）

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键．