题目内容

已知椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（ $数学公式$ ，0），短轴一顶点与两焦点连线夹角为120°．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，m）在线段AB的垂直平分线上且 $数学公式$ ≤4，求m的取值范围．

解：（1）由题意知a=2b，c= $\text{[math]}$ ，a²=b²+c²
解得a=2，b=1，∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ +y²=1

（2）由（1）可知A（-2，0），设B点坐标为（x₁，y₁），
直线l的方程为y=k（x+2）
于是A、B两点的坐标满足方程组 $\text{[math]}$
由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁= $\text{[math]}$ 得x₁= $\text{[math]}$ ，从而y₁= $\text{[math]}$
设线段AB的中点为M，则M的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，
于是 $\text{[math]}$ =（-2，-m）， $\text{[math]}$ =（2，-m），
由 $\text{[math]}$ ≤4
得：-2 $\text{[math]}$ ≤m≤2 $\text{[math]}$

②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）
令x=0，得m=- $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ =-2x₁-m（y₁-m）

= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ ≤4
解得- $\text{[math]}$ ≤k≤ $\text{[math]}$ 且k≠0

∴m=- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∴当- $\text{[math]}$ ≤k＜0时， $\text{[math]}$ +4k≤-4
当0＜k≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ +4k≥4
∴- $\text{[math]}$ ≤m≤ $\text{[math]}$ ，且m≠0

综上所述，- $\text{[math]}$ ≤m≤ $\text{[math]}$ ，且m≠0

分析：（1）由题意知a=2b，c= $\text{[math]}$ ，a²=b²+c²，由此能得到椭圆方程．
（2）由A（-2，0），设B（x₁，y₁），直线l的方程为y=k（x+2），知A、B两点的坐标满足方程组 $\text{[math]}$ ，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁= $\text{[math]}$ 得x₁= $\text{[math]}$ ，从而y₁= $\text{[math]}$ ，设线段AB的中点为M，则M的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．然后再分类讨论进行求解．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，解题时要注意分类讨论思想的应用．