Question

设函数f（x）=的反函数为y=f^-1（x），若关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，则实数m的取值范围是________．

Answer 1

分析：由f（x）=可求得y=f^-1（x），又关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，可得m=，从而可得答案．
解答：∵y=f（x）=，
∴2^x+1=2^y，
∴x=，
∴y=f^-1（x）=；
∵关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，
∴m=f^-1（x）-f（x）=在[1，2]上有解，而y=为增函数，
∴≤m≤，即≤m≤．
故答案为：[，]．
点评：本题考查反函数，通过反函数考查函数恒成立问题，考查转化思想与运算能力，属于中档题．