题目内容
（07年湖北卷理）（13分）
已知定义在正实数集上的函数
，
，其中
．设两曲线
，
有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用
表示
，并求的最大值；
（II）求证：
（
）．
本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．
解析：（Ⅰ）设
与
在公共点
处的切线相同．
，
，由题意
，
．
即
由
得：
，或
（舍去）．
即有
．
令
，则
．于是
当
，即
时，
；
当
，即
时，
．
故
在
为增函数，在
为减函数，
于是在
的最大值为
．
（Ⅱ）设
，
则
．
故
在
为减函数，在
为增函数，
于是函数在上的最小值是
．
故当
时，有
，即当时，
．
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和
的前
项和分别为A
和
，
，则使得
为整数的正整数
（
是非零常数）与圆
有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
（
是非零常数）与圆
有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
的反函数是
，则
；
．
的面积为
，且满足
，设
和
的夹角为
．
的最大值与最小值．