题目内容

如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，PQ为圆A的任意一条直径．
（1）若 $数学公式$ ，求 $数学公式$ ；
（2）求 $数学公式$ 的最小值．
（3）判断 $数学公式$ 的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∴= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值-1，
（3） $\text{[math]}$ 的值不随点P的变化而变化
∵ $\text{[math]}$
由（2）知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
所以∴ $\text{[math]}$ 的值不随点P的变化而变化．
分析：（1）选定 $\text{[math]}$ 为基向量，由题设条件知，此两向量的模是2，夹角是 $\text{[math]}$ ，根据题设条件 $\text{[math]}$ ，及向量加法用两个基向量表示出 $\text{[math]}$ ，再求它的模；
（2）设∠PAB=θ，则∠CAQ=120°-θ，由数量积公式及向量的三角形法则进行变形，将 $\text{[math]}$ 表示成∠PAB=θ的三角函数，由正弦函数的性质求出最值；
（3）由（2）将 $\text{[math]}$ 中两个向量的数量积表示成θ的三角函数，再进行运算，得出 $\text{[math]}$ =2是一个常数由此得出结论
点评：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是掌握几何中的关系与向量的对应，本题中主要用到了线段的长度与向量的模的对应，本题考查了转化化归的思想，将求向量内积的最值的问题转化为三角函数的最值，根据所研究问题的实际情况恰当的转化研究问题的角度，是数学解题中常用的技巧，本题由有符号运算与数字运算，运算量较大，解题时要认真严谨．