Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=

1

4

a_n+1（n≥1），则a_n=

4

3

(-

1

3

)n-1

，

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…+a_n）的值是

1

．

Answer 1

分析：在S_n=

1

4

a_n+1（n≥1）①中，令n=1可得a₁．当n≥2时，S_n-1=

1

4

a_n-1+1 ②，用①减去②，化简可得a_n=-

1

3

a_n-1，可得数列为等比数列，公比为-

1

3

，
由此求得a_n．再根据等比数列的求和公式求得 S_n，可得

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=

lim

n→∞

S_n 的值．

解答：解：由于数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=

1

4

a_n+1（n≥1）①，令n=1可得a₁=

4

3

．
当n≥2时，S_n-1=

1

4

a_n-1+1 ②，用①减去②，化简可得a_n=-

1

3

a_n-1，故数列为等比数列，公比为-

1

3

，∴a_n=

4

3

(-

1

3

)n-1．
∴S_n=

4 3 [1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=1-(-

1

3

)n，∴

lim

n→∞

（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

[1-(-

1

3

)n]=1，
故答案为

4

3

(-

1

3

)n-1、1．

点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项之间的关系，等比数列的求和公式，数列极限的运算法则的应用，属于中档题．