Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在函数y=log

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2

x的图象上．
（Ⅰ）若数列{b_n}是等差数列，求证数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n=1-2^-n，过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成三角形面积为c_n，求使c_n≤t对n∈N^*恒成立的实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把点P_n（a_n，b_n）代入函数式，根据数列{b_n}是等差数列，可求得a²_n+1=a_na_n+1进而可证明数列a_n}为等比数列
（2）先看当n≥2时根据a_n=S_n-S_n-1求得数列{a_n}的通项公式，进而求得当n=1时也符合，求得数列{a_n}的通项公式代入b_n=log

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2

a_n求得b_n，进而求得点P_n和P_n+1的坐标进而可得过这两点的直线方程，进而求得该直线与坐标轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求得c_n，进而可得c_n-c_n+1的表达式判断其大于0，推断出数列{c_n}的各项依次单调递减，要使c_n≤t对n∈N⁺恒成立，需要t大于或等于数列的最大值c₁，进而可推断存在最小的实数满足条件．

解答：解：（1）依题意可知b_n=log

1

2

a_n，
∵数列{b_n}是等差数列，
∴2b_n+1=b_n+b_n+2，即2log

1

2

a_n+1=log

1

2

a_n+log

1

2

a_n+2=log

1

2

（a_na_n+2）
∴a²_n+1=a_na_n+2
∴数列{a_n}为等比数列
（2）当n=1时，a₁=

1

2

，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

）ⁿ，n=1也适合此式，
即数列{a_n}的通项公式是a_n=（

1

2

）ⁿ．由b_n=log

1

2

a_n，得
数列{b_n}的通项公式是b_n=n，
所以P_n（

1

2n

，n），P_n+1（

1

2n+1

，n+1）．
过这两点的直线方程是：

y-n

n+1-n

=

x- 1 2n

1 2n+1 - 1 2n

可得与坐标轴的交点是A_n（

n+2

2n+1

，0），B_n（0，n+2），
c_n=

1

2

×|OA_n|×|OB_n|=

(n+2) 2

2n+2

，
由于c_n-c_n+1=

(n+2) 2

2n+2

-

(n+3) 2

2n+3

＞0，即数列{c_n}的各项依次单调递减，所以t≥c₁=

9

8

，即存在最小的实数t=

9

8

满足条件．

点评：本小题主要考查数列、不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野．