Question

【题目】若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．

f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）＝+2ax﹣（a+2）＝，

①0＜a＜2时，＜，

令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜，

∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，

∴函数f（x）在x=处取得极大值，符合题意，

②a＝2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，

③a＞2时，＞，

令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜，

∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，

∴函数f（x）在x＝处取得极大值，不符合题意，

④a<0时，>0>

令f′（x）＞0，解得：0<x<,

令f′（x）＜0，解得：x>,

∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

∴函数f（x）在x=处取得极大值，符合题意.

⑤a=0时，f′（x）=0的根x=，

∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

∴函数f（x）在x=处取得极大值，符合题意.

综上，a∈（，2），

故答案为：（-，2）．